Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

BAB I

PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang

Matematika merupakan salah satu cabang ilmu pengetahuan yang sangat penting dalam kehidupan sehari–hari. Manusia dalam melakukan kegiatan sehari–hari tentunya tidak lepas dari apa yang ada dalam matematika. Akan tetapi kebanyakan orang tidak menyadari bahwa apa yang dilakukannya tersebut merupakan bagian dari matematika. Kegiatan– kegiatan seperti menghitung bilangan, menjumlahkan dan lain sebagainya merupakan bagian dari cabang ilmu matematika yang paling dasar.

B.     Rumusan Masalah

Dalam makalah ini terdapat beberapa rumusan masalah yaitu:

         1.      Apa saja jenis akar-akar persamaan kuadrat

         2.      Bagaiman membentuk persamaan kuadrat

C.      Pembatasan Masalah

Untuk mengurangi terjadinya penyimpangan dalam proses penyampaian makalah, kami melakukan pembatasan masalah antara lain :

1.       Pembahasan hanya menyangkut dari jenis akar-akar dan membentuk persamaan kuadrat

2.       Hasil yang didapat dari persamaan kuadrat hanya menggunakan metode jenis akar-akar persamaan kuadrat,membentuk persamaan kuadrat, diskriminan dan Rumus ABC.

D.    Tujuan

1.      Untuk mengetahui jenis akar-akar persamaan kuadrat

2.      Untuk mengetahui bagaimana cara membentuk persamaan kuadrat

E.  Metode Penyusunan Makalah

Metode yang kami pergunakan dalam melakukan penyusunan makalah adalah kerja kelompok serta melakukan beberapa pencarian data kemudian melakukan penyaringan  data dilanjutkan dengan perancangan skema dan pembuatan makalah, adapun langkah langkah yang kami lakukan antara lain  :

1.      Pertemuan ( melakukan pembagian tugas )             6.      Evaluasi, dan

2.      Pengumpulan data                                                   7.      Perbaikan

3.      Penyaringan data

4.      Penyusunan skema

5.      Melakukan penyusunan makalah

BAB II

PEMBAHASAN

A.       Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat

Ada 3 jenis dalam menentukan jenis akar persamaan kuadrat yaitu :

1.      Dua akar real yang berlainan atau berbeda jika D > 0, ada dua jenis antara lain :

a.       Rasional jika D Berbentuk kuadrat sempurna

Contoh : 1, 4, 9 , ...                                                    

b.      Irrasional jika D tidak berbentuk kuadrat

sempurna

Contoh : 5, 6 , 10 , ...

2.      Dua akar kembar atau sama jika D = 0

3.      Tidak mempunyai akar real atau

imajiner jika D < 0

Untuk menentukan diskriminan dalam

menentukan jenis akar persamaan tersebut digunakan rumus:           

;dimana D merupakan Diskriminan yang diperoleh dari persamaan

Kalau tidak mau menggunakan rumus diskriminan bisa menggunakan akar persamaan kuadrat yang telah dicari terlebih dahulu dengan menggunakan salah satu dari cara diatas. Setelah diperoleh akar persamaan kuadrat maka cara menentukan jenisnya adalah sebagai berikut :

1.      Dua akar real yang berlainan / berbedajika:

a.       x dan xnya berbeda dan berbentuk bilangan bulat, negatif, pecahan, maka rasional.

contoh :

b.      xdan xnya berbeda dan berbentuk akar positif maka irrasional

contoh :

2.      Dua akar kembar atau sama jika x = x

Contoh  :

Tidak mempunyai akar real atau imajiner jika berbentuk akar negatif

Contoh :   x =  ,x=

Contoh1 :

Tentukan jenis akar – akar persamaan kuadrat untuk persamaan

 2x² + 9x – 35 = 0

Jawab :

Diketahui a = 2,

b = 9 ,

c = -35

Cara 1 :

D= b² - 4ac 

   = 81 – 4(2)(-35)

   = 81 + 280

   = 361

Karena D > 0 dan D berbentuk kuadrat sempurna 361 = (19)² maka jenis akarnya, dua akar  real yang berlainan atau berbeda dan rasional

Cara 2 : Dengan rumus ABC seperti contoh 4 maka diperoleh :

,

Karena x nya berbentuk bilangan negative dan pecahan maka jenis akarnya  dua akar real yang berlainan atau berbeda dan rasional.

Tentukan jenis akar – akar persamaan kuadrat untuk persamaan

4x² - 20x + 25 = 0

 

Diketahui a = 4, b = -20 ,dan c = 25

 

D = b² - 4ac

 = 400 – 4(4)(25)

= 400 – 400

= 0

Karena D = 0 maka jenis akarnya kembar atau sama

 

     

 =    

 =

    =                            

 =                                   

               

    = 

Karena=   maka jenis akarnya kembar atau sama

 

Tentukan jenis akar – akar persamaan kuadrat untuk persamaan  

2x² + 9x + 35 = 0

Jawab :

Diketahui a = 2, b = 9 , c = 35

D = b² - 4ac 

    = 81 – 4(2)(35)

    = 81 – 280

    = - 199

Karena D < 0 maka jenis akarnya tidak mempunyai akar real atau imajiner.

 

   =    

=

       =                                                                

 

Karenadanberbentuk akar negative maka  jenis akarnya tidak mempunyai akar real atau imajiner

 

Diketahui persamaan kuadrat x²-6x+3p=0, tentukan nilai atau batas nilai p agar persamaan kuadrat tersebut :

a.       Mempunyai dua akar real yang berbeda

b.      Mempunyai dua akar real yang kembar

c.       Tidakmempunyai akar – akar yang real

                                

x² - 6x + 3p = 0,  dengan a = 1, b = -6, c = 3p

nilai diskriminannya adalah : D = b² - 4ac = 36 – 12p

a.       Agar persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang berbeda, syaratnya D > 0

D               >          0

36 – 12p    >          0

p                <          3

jadi persamaan kuadrat x² - 6x + 3p = 0 mempunyai dua akar real yang berbeda untuk batas nilai p < 3

b.      Agar persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang sama, syaratnya D = 0

D                 =        0

36 – 12p      =        0

p                  =        3

            jadi persamaan kuadrat x² - 6x + 3p = 0 mempunyai dua akar real yang sama untuk nilai p = 3

c.       Agar persamaan kuadrat tidak mempunyai akar – akar real, syaratnya D < 0

D               <          0

36 – 12p    <          0

p                >          3

jadi persamaan kuadrat x² - 6x + 3p = 0 tidak mempunyai akar – akar yang real  untuk batas nilai p > 3

 

Tentukan nilai m agar persamaan kuadrat px² - 2p (x – 1) = 3 mempunyai dua akar yang sama

 

Untuk persamaan kuadrat di atas px² - 2p (x – 1) = 3 maka

px² - 2px + 2p – 3 = 0 sehingga a = p, b = - 2p, c = 2p – 3

nilai diskriminannya adalah :

D =  b² - 4ac   

=    4p² - 4(p)(2p – 3)

=     4p² - 8p² + 12p           

=    - 4p² + 12p

Agar persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar yang sama syaratnya  D = 0

            D= 0

 - 4p² + 12p     = 0

Dengan menggunakan rumus ABC diperoleh nilai p yaitu 0 dan 3

Jadi persamaan kuadrat px²-2p(x– 1) = 3 mempunyai dua akar sama untuk nilai p = 0 dan p = 3

1.      Membentuk Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat dibentuk jika kedua akarnya atau informasi tentang kedua akarnya diketahui.Jika suatu persamaan kuadrat mempunyai akar-akar x₁dan x₂ maka persamaannya adalah (x-x₁) (x-x₂) =0 atau

 x²- (x₁₊x₂)x + (x₁.x₂).

Tentukan persamaan kuadrat yang mempunyai akar 2 dan 3.

Penyelesaian :

Persamaan kuadrat dengan akar-akar 

2dan 3 adalah :

·         x²- (2+3)x + (2.3) = 0

·         x² -5x +6 =0

 

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua kali akar-akar persamaan kuadrat x² +3x-5 = 0

Penyelesaian :

Misal x₁dan x₂adalah akar-akar persamaan x²+3x-5 = 0.

Maka x₁+x₂ = -= -3   dan  x₁.x₂ = = -5.

Misal α dan β adalah akar-akar persamaan yang dicari, maka

α = 2x₁ dan β = 2x_2.

Jadi,  α +β = 2x₁ + 2x₂              α.β  = 2x₁.2x₂

= 2(x₁+x₂)                     = 4(x₁.x₂)

= 2(-3)                            = 4(-5)

= -6                                 = -20

Maka persamaan kuadrat yang dicari adalah :

x² - (α +β)x  + (α.β) = 0

x² +6x-20 = 0

1)      Membentuk persamaan kuadrat yang diketahui sifat–sifat akarnya.

a.    Sifat – SifatAkarPersamaanKuadrat.

Misalkan persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dengan x₁ dan x₂ adalah akar-akarnya .Dengan  menggunakan akar-akar persamaan kuadrat dari rumus ABC, yaitu:

Maka x₁ =    maka x₂ =     Sehingga dapat di hubungkan :

x₁ + x₂ =

 x₁. x₂  =

Bentuk diatas dikenal sebagai sifat akar pada persamaan kuadrat

b.      Menyusun Persamaan Kuadrat

1)      Menyusun persamaan kuadrat jikadiketahui akar-akrnya Jika x₁dan x₂ merupakan akar-akar persamaan kuadrat maka berlaku;

 

Atau (x- x_{1) (}x- x_{2) = 0}

x²-x₁x- x₂x + x_1.x_{2 = 0}

a)      Menyusun persamaan kuadrat baru jika

di ketahui hubungan akar-akar persamaan

kuadrat baru dengan akar-akar persamaan

kuadra tlainnya. Missal α dan β merupakan akar-akar persamaan kuadrat baru, x₁ dan x₂ akar persamaan kuadrat lama yang diketahui. Jika α, β dan x₁ , x₂ mempunyai hubungan tertentu maka persamaan kuadrat baru ;

α + β dan α . β di ubah kedalam bentuk x₁+ x₂ dan x_1.x₂ untuk menentukan nilainya :

 

1)      Tentukan persamaan kuadrat yang akar – akarnya -3 dan

 

( x – x₁ ) . ( x – x₂ ) = 0

( x – (-3)) . ( x –) = 0

( x + 3 )  . (x –) = 0

x² –x + 3x – 1 = 0

x² – x – 1 = 0

2)      Jika akar – akar persamaan kuadrat 2x² – x -5 = 0 adalah p dan q, maka persamaan kuadrat yang akar – akarnya (p -1) dan (q -1) adalah

Jawab :

2x² – x -5 = 0;a = 2, b = -1, c = -5

Maka :

p + q = = = dan  p . q = =

Sehingga :

( p – 1) +(q– 1) = (p + q) – 2

 =

 = -

(p – 1) (q – 1 ) = pq –p – q + 1

                        = pq – (p + q) + 1

                        =  – () + 1

                        = -2

Jadi persamaan kuadratnya adalah :

x² – ( x₁ + x₂ ) x + ( x₁ . x₂ ) = 0.

x² – (( p – 1) + (q – 1)) x + (( p – 1)(q – 1 )) = 0.

x² – () x + (-2) = 0.

x² +x -2 = 0.

2x² + 3x– 4= 0.

3)      Jika x₁ dan x₂ adalah akar – akar persmaan kuadrat 4x²-8x + 10 = 0 tentukan nilai !

a)    x₁+ x₂

b)    x_1.x₂

c)     x₁²+x₂²

d)    +

e)     (x₁ – x₂₎²

f)    x₁³.x₂  + x_1.x₂³

g)   x₁³ + x₂

4x²- 8x + 10= 0 -> a=4, b= -8, c =10

                                   

a)      x₁ +  x_{2  =}  = -  = 2

b)      x_1.x_{2  =  =  =}

c)      x₁² + x₂² = ( x₁ + x₂₎² – 2x_1.x₂

                    = 2²- 2.

                    = 4- 5

= 1

d)      +

e)       =−

f)       (  x₁-x₂ )² = x₁²- 2x₁. x₂ + x₂²

 = (x₁² + x₂² ) – 2(x_1.x₂)

= -1 -2 . = - 6

g)      x₁³. x₂ + x_1.x₂³ = x_1.x₂(x₁²+x₂²)

                           = \

h)      x₁³+ x₂³ =(x_{1 +} x₂)³ – 3x_1.x₂(x₁ + x₂)

             = 2³ -3.

             = 8- = -7

4)      Misal α dan β akar-akar dari persamaan 2x² + 5x – 6 = 0. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya

2x² + 5x- 6= 0

Diproleh α +β = - dan α .β = -3 persamaan yang akan di susun:

x²- ( x_{1 +} x₂ ) x + x₁ . x₂= 0 dengan x_{1 =} dan x₂ =

x₁+ x₂=

x_{1 .}x₂ =

Jadi, persamaan kuadrat yang di minta :

x²- <=.> 6x² – 5x- 2 = 0

 

1.      Diketahui p dan q akar- akar persamaan kuadrat x²-8x+12=0. Nilai p + q=…..

2.      Akar-akar persamaan kudrat 3x² + x – 2 = 0 adalah x₁ dan x_2. Nilai dari 9(x₁ + x₂ )² -6x_1.x_2=……..

3.      Diketahui akar-akar  persamaan kuadrat 2x²- 7x -6 = 0  adalah x₁ dan x_2. Nilai  adalah…….

4.      Akar-akar persamaan kuadrat x² + ( a-1) x + 2 = 0 adalah α dan β. Jika α = 2β dan a>0 maka nilai a=……

5.      Akar-akar persamaan kuadarat x² +(a-1) x +6 =0 adalah x₁ dan x₂ jika x₁² + x₂² = 13 maka a=…..

6.      Akar-akar persamaan kuadrat 2x² + 6x + 3 = 0 ada;lah x₁ dan x_2. Persamaaan kuadrat yang akar-akarnya  x₁ + x₂ dan x_1.x₂ adalah..

7.      Persamaan kuadrat x 2 + (m-2)x + 9 = 0, akar-akar nyata. Nilai m yang memenuhi adalah

8.      Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan -2 adalah:

9.       Akar-akar persamaan kuadrat x 2 - 5 x - 3 = 0 adalah x1 dan x 2 . Persamaan kuadrat yang akarakarnya x1 -1 dan x 2 - 1 adalah...

10.  . Akar-akar persamaan 2x² − 6x + 2m − 1 = 0 adalah α dan β. Jika α = 2β ,maka nilai m adalah..... 

11.  Jika p dan q adalah akar-akar persamaan x² − 5x − 1 = 0, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2p + 1 dan 2q + 1 adalah.....

12.  . Akar-akar persamaan 3x² − 12x + 2 = 0 adalah α dan β. Persamaan kuadrat baru yang akar- akarnya (α + 2) dan (β + 2)

13.  . Persamaan kuadrat x² + (m − 1)x − 5 = 0 mempunyai akar-akar x₁ dan x₂. Jika x₁² + x₁² − 2x₁ x₂ = 8m, maka nilai m =...

B.   Fungsi Kuadrat

1.      Bentuk Umum Fungsi Kuadrat

Suatu fungsi yang mempunyai variable dengan pangkat tertinggi dua disebut fungsi kuadrat. Bentuk umumnya :

F(x) = ax² + bx + c ; a, b, c, є bilangan real dan a ≠ 0.

Contoh : a) f(x) = x² – 4           

b) f(x) = 2x² + 5x + 6

2.      Menentukan Fungsi Kuadrat yang Diketahui 1 Titik dan Titik Puncaknya.

Jika fungsi kuadrat y = ax² + bx + c mempunyai titik puncak P (x_p , y_p), maka fungsi kuadrat tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk :

Y = a(x - x_p)² + y_p

 

Selanjutnya untuk menentukan nilai a, kita subtitusikan nilai x dan y dari suatu titik lain yang dilalui grafik fungsi kuadrat ke persamaan diatas.

Contoh soal :

1)      Tentukan rumus fungsi kuadrat yang mempunyai titik puncak P (2, -1) serta melalui titik A ( 0,3).

Jawab :

Dengan menggunakan rumus di atas untuk x_p = 2 dan y_p = -1, maka diperoleh:

Y = a(x - x_p)² + y_p

Y = a(x – 2)² – 1

Karena grafik fungsi kuadrat tersebut melalui titik A( 0, 3), maka:

3= a (0 -2)² – 1

3= 4a – 1

3+1 = 4a

4= 4a

A= 1

Sehingga diperoleh:

Y = 1 (x – 2)² – 1

Y = (x- 2)(x-2) – 1

Y = x² -4x + 4 -1

Y = x² – 4x + 3

3.      Sumbu Simetri dan Titik Ekstrim

 

Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola (seperti gambar di atas) dapat menghadap ke bawah atau ke atas. Grafik itu mempunyai sumbu simetri yaitu l, dan titik puncak P. Titik puncak disebut juga titik balik .

            Jika grafik fungsi y = ax² + bx +c dipotongkan dengan sumbu x, yang berarti y = 0, maka diperoleh ax² + bx +c = 0. Jika grafik fungsi berpotongan di A(x_1, 0) dan B(x_2,0), maka x adalah akar – akar persamaan kuadrat ax² + bx +c = 0. Dikatakan pula bahwa x₁ dan x₂  adalah pembuat nol fungsi f(x) = ax² + bx +c.

Garis l adalah sumbu simetri, yang berarti melalui tengah – tengah AB, sehingga persamaannya adalah  = . Titik P diperoleh dengan memotongkan garis x = -b/2a dengan kurva y = ax² + bx +c.

y = -b/2a dan y = ax² + bx +c , maka :

y = a (-b/2a)² + b(-b/2a) + c

= b² – 2b² + 4ac / 4a = - b² – 4ac / 4a = -D/4a.

Jadi koordinat titik puncak adalah P ( -b/2a , -D/4a ).

Karena terdapat dua akar yaitu x1 dan x2, maka pasti D > 0. Ini berarti jika a > 0, maka (-D/4a) < 0, dan jika a < 0, maka (-D/4a) > 0. Dengan kata lain, jka a > 0 maka grafik menghadap keatas, dan jika a < 0, maka grafik menghadap ke bawah.

Jika grafik menghadap ke atas maka titik puncaknya adalah titik puncak minimum, dan jika grafiknya menghadap ke bawah, maka titik puncaknya adalah titik puncak maksimum. Dengan demikian, berlaku sifat berikut :

Pada fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx +c dengan a ≠ 0

a.                   Grafiknya berbentuk parabola

b.                  Bila a > 0 grafik menghadap keatas.

c.                   Bila a < 0 grafik menghadap ke bawah.

d.                  Persamaan sumbu simetri x =

e.                   Koordinat titik puncak P  , .

Titik ekstrim disebut juga titik puncak, yaitu: P  , .

1.       Jika fungsi  ) y = ax² + 6x + (a+1) mempunyai sumbu simetri x = 3. Tentukan nilai ekstrimnya  !

2.        Jika parabola  f(x) = x²-bx+7 puncaknya mempunyai absis 4, maka tentukan ordinatnya adalah?

 

1.      Jika fungsi y=+6x + (a + 1) mempunyai sumbu simetri x=3, tentukan nilai ekstrimnya !

2.      Jika parabola - bx + 7 puncaknya mempunyai absis 4, maka tentukan ordinatnya adalah ?

BAB III

PENUTUP

A.    Kesimpulan

Dari materi di atas, kita dapat menyimpulkan jenis akar-akar persamaan kuadrat dapat terselasaikan dengan menggunakan rumus abc, dengan menentukan akar persamaan kuadrat

 ax² + bx +c  = 0 yaitu x_1..x_2=.

b²-4ac disebut desbut deskriminan,karena dengan melihat nilai b²-4ac dapat menentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat .

Persamaan kuadrat dibentuk jika kedua akarnya atau informasi tentang kedua akarnya diketahu Jika suatu persamaan kuadrat mempunyai akar-akar x₁dan x₂maka persamaannya adalah (x-x₁) (x-x₂) = 0 atau x²- (x₁₊x₂)x + (x₁.x₂).

DAFTAR PUSTAKA

http://b3sm4rt.wordpress.com/2010/12/30/persamaan-kuadrat/

http://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan_kuadrat/

depertemen pendidikan nasional.2006.peraturan menteri pendidikan Nasional Republik Indonesia nomor 22 Tahun 2006 tentang standar isi satuan pendidikan dasar dan menengah.lampiran 3: standar kompetensi dan kompetensi dasar mata pelajaran matematika untuk SmA/MA.Jakarta;depdiknas

Kartini, suprorapto, dan endang.2005.matematika kelas X untuk SMA/MA. Klaten: intan parewara.

Abdurahman.Maman. 2006. IntisariMatematika SMA IPA :RingkasanMateriLengkapDisertaiContohSoal – JawabdanSoal – SoalLatihan UNAS. KurikulumBerbasisKompetensi, Penerbit CV PUSTAKA SETIA.

Kuncoro  Priyo dan Ihsanudin. 2008. Panduan  Praktis Siap Uji Menghadapi UN SPMB IPA SMA. Penerbit ERLANGGA.

Foster, Bob. 2006. 1001 Plus Soal dan Pembahasan Matematika Seleksi PenerimaanMahasiswaBaru. Penerbit ERLANGGA.

Alders, C.J. dan Ir. Bahar. 1987.  IlmuAljabar 2. Penerbit PT. Pradnya Paramita.

Johanes.Kastolan.Sulasim.2003. Kompetensi Matematika untuk Kelas 1 SMA Semester  Pertama.Penerbit Yudhistira.