[Enter Post Title
Here]
BAB I
PENDAHULUAN
A.
LATAR BELAKANG
Parabola dipelajari oleh Menaechmus yang
merupakan murid dari Plato dan Eudoxus. Ia berusaha untuk menduplikasi kubus,
yaitu untuk mencari sisi kubus yang memiliki volume dua kali lipat dari sebuah
kubus yang diberikan. Oleh karena itu ia berusaha untuk memecahkan x3
= 2 dengan metode geometri.
Bahkan metode geometris konstruksi
penggaris dan kompas tidak bisa memecahkan ini (tapi Menaechmus tidak tahu
ini). Menaechmus dipecahkan itu dengan mencari perpotongan dari dua parabola x2
= y dan y2 = 2x.
Euclid menulis tentang parabola dan itu
diberi nama yang sekarang oleh Apollonius. Fokus dan direktori dari parabola
itu dikemukakan oleh Pappus . Pascal mengemukakan parabola sebagai proyeksi
lingkaran dan Galileo menunjukkan bahwa proyektil mengikuti jalur parabola.
Gregory dan Newton mengemukakan sebagai
properti dari sebuah parabola yang membawa sinar sejajar cahaya untuk fokus.
Pedal parabola dengan titik sebagai
titik pedal adalah cissoids. Pedal dari parabola dengan fokus sebagai pedal
titik adalah garis lurus. Dengan kaki pedal directrix sebagai titik itu adalah
hak strophoid (sebuah strophoid miring untuk himpunantiap titik lain dari
directrix). Kurva pedal saat pedal titik gambar fokus dalam directrix adalah
Trisectrix dari Maclaurin.
Evolute parabola adalah parabola Neile
itu. Dari titik di atas tiga normals evolute dapat ditarik untuk parabola,
sementara hanya satu normal dapat ditarik untuk parabola dari titik bawah
evolute. Jika fokus parabola diambil sebagai pusat inversi, parabola
membalikkan ke cardioids. Jika simpul parabola diambil sebagai pusat inversi,
parabola membalikkan ke Cissoid dari Diocles. Para kaustik dari parabola dengan
sinar tegak lurus terhadap sumbu parabola adalah Tschirnhaus's Cubic.
Pada makalah kali ini, parabola yang akan dibahas
adalah persamaan - persamaan parabola bentuk baku, konstruksi gometrik dari
parabola, aplikasi dari parabola, persamaan parabola bentuk umum,dan persamaan
garis singgung pada parabola.
B.
Rumusan Masalah
1.
Bagaimana persamaan - persamaan parabola bentuk
baku?
2.
Bagaimana konstruksi gometrik dari parabola?
3.
Apa saja aplikasi dari parabola?
4.
Bagaimana persamaan parabola bentuk umum?
5.
Bagaimana persamaan garis singgung pada parabola?
C.
Tujuan
Untuk mengetahui dan memahami lebih dalam tentang
persamaan - persamaan parabola bentuk baku, konstruksi gometrik dari parabola,
aplikasi dari parabola, persamaan parabola bentuk umum, persamaan garis
singgung pada parabola, sehingga dapat menggunakan aplikasi-aplikasi
parabola dalam kehidupan sehari-hari.
D.
Manfaat
1. Memeberikan
nilai tambah pengetahuan tentang
persamaan parabola bentuk baku.
2. Memberikan
nilai tambah pengetahuan tentang konstruksi geometric dari parabola.
3. Memberikan
nilai tambah pengetahuan tentang aplikasi-aplikasi parabola.
4. Memberikan
nilai tambah pengetahuan tentang persamaan parabola bentuk umum.
5. Memberikan nilai tambah pengetahuan
tentang persamaan garis singgung pada
parabola.
BAB II
PEMABAHASAN
A. Persamaan
Parabola Bentuk Baku
Parabola didefinisikan sebagai tempat
kedudukan titik-titik P(x, y) pada bidang sedemikian hingga titik itu berjarak
sama dari suatu titik tertentu yang disebut fokus dan garis tertentu yang tidak
memuat fokus dan disebut direktrik.
Untuk
menentukan persamaan parabola, pertama ditinjau parabola dengan fokus berada
pada sumbu-x dan dengan direktrik
tegak lurus sumbu-x. Sedangkan sumbu-y
diletakkan di tengah-tengah segmen garis
hubung dari titik fokus F ke garis
direktrik d.
  |
Gambar 2.1
Misalkan jarak antara garis
direktrik dengan fokus adalah 2c, maka koordinat titik fokusnya adalah F(c, 0) dan persamaan garis direktrik d
adalah x = –c,
c ¹ 0. (lihat
gambar 2.1).
Jika P(x, y) adalah sembarang titik pada parabola,
maka dari definisi kurva parabola diperoleh hubungan.
= 
Û 
= |x
+ c|
= |x
+ c|
Û (x – c)2
+ y2 = (x
+ c)2
Û x2 – 2cx + c2 + y2 = x2 + 2cx + c2
Û y2 = 4cx . . . . . .
. . (1)
Persamaan (1) di atas merupakan persamaan parabola yang dicari yaitu
parabola yang mempunyai fokus F dengan koordinat (c, 0) dan persamaan garis direktrik d º x = –c, c ¹ 0.
Jika dilakukan pertukaran x dan y dalam (1) maka diperoleh
x2 = 4cy . . . . . . . .
(2)
yang mana (2) merupakan persamaan parabola dengan
fokus di titik (0, c) pada sumbu-y dan garis
direktrik dengan persamaan d º y = –c.
Persamaan (1) dan (2) dikenal sebagai persamaan parabola bentuk baku.
Jika c adalah positif, maka parabola adalah terbuka ke arah sumbu-x
atau sumbu-y positif; sebaliknya jika c adalah negatif,
maka parabola adalah terbuka ke arah sumbu-x atau sumbu-y
negatif, bergantung parabola bentuk baku (1) atau (2)
Sekarang kita perhatikan beberapa sifat dari parabola
sebelum melanjutkan ke permasalahan yang lain. Pertama parabola adalah kurva
yang simetrik. Garis simetri dari parabola disebut sumbu parabola. Garis
ini tegak lurus dengan direktrik dan memuat titik fokus. Titik potong sumbu
dengan parabola disebut puncak (vertex).
Gambar 2.2.
Tali busur parabola yang melalui fokus dan tegak lurus sumbu parabola
disebut latus rectum parabola. Panjang latus rektum dapat dihitung
secara langsung dari gambar 6.2, yang mana latus rektum adalah segmen garis LR.
Fokus dan puncak parabola F dan V, sedangkan direktriknya d = 
. Sumbu parabola dan garisdirektrik berpotongan di E.
Berdasarkan definisi parabola, LF = LD = |2c|. Jadi
panjang laktus rektum adalah LR = |4c|.
. Sumbu parabola dan garisdirektrik berpotongan di E.
Berdasarkan definisi parabola, LF = LD = |2c|. Jadi
panjang laktus rektum adalah LR = |4c|.
Sebuah
parabola yang diketahui fokus dan direktriknya dapat segera dikonstruksi dengan
penggaris dan jangka sebagai berikut: Misalkan F
adalah fokus dan d direktrik yang
diberikan (lihat gambar 6.3). Gambar sumbu
para bola EF, yang tentu
saja memuat titik fokus F dan tegak lurus dengan garis d berpotongan di E.
Puncak parabola V adalah titik tengah antara E dan F.
Gambar 2.3.
Ambil
sembarang titik A pada sumbu dan berada pada sisi yang sama dengan F
terhadap titik V. Melalui A lukis garis AB yang sejajar
dengan direktrik (atau tegak lurus dengan sumbu parabola).
Dengan F
sebagai pusat dan jari-jari sama dengan panjang EA, lukis busur yang
memotong AB di P dan P’. Maka P dan P’ adalah
titik-titik pada parabola yang dicari, karena PF = AE = PD,
yaitu titik yang berjarak sama terhadap titik F dan garis d. Secara sama dapat diujikan untuk
titik P’.
Dengan
mengubah posisi titik A dapat dikonstruksikan sebanyak titik yang
diinginkan pada parabola. Secara praktis, akan sangat memudahkan, apabila pada
langkah awal dilukis sejumlah garis sejajar dengan direktrik untuk memperoleh
titik anggota tempat kedudukan.
Suatu
cara yang sangat mudah dilakukan dalam memvisualisasikan bentuk parabola adalah
dengan menggunakan sehelai benang. Jika sehelai benang yang lentur
ujung-ujungnya dikaitkan pada paku pada dinding yang rata, maka lengkungan
benang yang menggantung akan membentuk parabola.
Contoh 1:
Tentukan koordinat fokus dan
persamaan direktrik parabola dengan persamaan y2 = –8x. Lukis grafik parabola tersebut.
Jawab:
Dengan membandingkan persamaan parabola dalam bentuk baku
(1) maka diperoleh hubungan
Û 4c = –8
Û c = –2
Jadi parabola di atas mempunyai
titik fokus di (–2, 0).
Persamaan garis direktriknya
adalah x = 2.
Untuk melukis grafik parabola di atas, pertama
dilukis garis direktrik dan fokusnya. Kemudian buat sketsa grafik dengan
menentukan beberapa titik yang berjarak sama dari fokus dengan direktrik.
Sketsa grafik dapat diperlihatkan dalam gambar 2.4.
C.
 |
Aplikasi Parabola
 |
Lintasan peluru meriam yang ditembakkan dari suatu tempat dengan sudut elevasi tertentu, dengan mengabaikan resistensi udara dan lainnya, adalah sebuah parabola. Kabel pada jembatan gantung yang mempunyai distribusi beban seragam akan menggantung dalam bentuk parabola. Arsitektur jembaran atau ornamen pada sebuah gedung kadang-kadang dibuat dalam bentuk parabolik.
Ada
dua sifat yang menarik dari parabola yang mempunyai terapan dalam konstruksi
lampu sorot, lampu mobil dan teleskop. Sebuah parabola yang diputar terhadap
sumbunya akan membentuk sebuah permukaan. Jika permukaan cekung pada benda ini
digunakan sebagai reflektor, sinar cahaya yang datang secara paralel dengan
sumbu akan diarahkan ke fokus. Sebaliknya, jika sebuah sumber cahaya
dipancarkan dari fokus, maka cahaya akan dipantulkan ke luar dalam bentuk
cahaya yang sejajar.
Dalam gambar 2.5. misalkan P adalah sembarang titik pada grafik
suatu parabola dan PT adalah garis singgung di titik P. F
adalah fokus parabola, dan a adalah sudut antara FP dan garis singgung PT. PR
sejajar dengan sumbu parabola, dan b sudut antara PR dan PT. Dapat dibuktikan (dalam latihan 6 C)
bahwa a = b.
Dengan
penjelasan ini, kepala lampu senter, permukaan kepala lampu kendaraan, dan
sebagainya dibuat dalam bentuk parabolik. Tetapi reflektor pada teleskop,
detektor suara parabolik, antena radio atau televisi berbentuk parabolik dibuat
berdasar pada prinsip yang berkebalikan (gambar 2.6). Pada teleskop, sinar cahaya dari
suatu obyek di langit yang jatuh ke cermin dan sejajar dengan sumbu parabola
akan dipantulkan dan dikumpulkan pada fokusnya.
Gambar 2.6 :
Latihan 1
Pada
masing-masing parabola berikut, tentukan koordinat fokus, persamaan direktrik
dan panjang latus rektum.
1. y2 = 12x. 7. 5y2 = 2x.
2. x2 = 4y. 8. 10x = y2.
3. 2y2 = 5x. 9. y2 = 4x.
4. y2 = 2x. 10. x=
y2.
5. y2 = –12x. 11. y2 + 8x = 0.
6. x2 = –6y. 12. y = ax2.
Dengan merujuk pada penjelasan tentang translasi sumbu,
jika puncak parabola di titik V
dengan koordinat (h, k) maka akan diperoleh persamaan
parabola yang lebih umum, dan persamaan baku parabola (1) dan (2) dari seksi
6.1 akan berubah menjadi berturut-turut
Û (y – k)2 =
4c(x – h) . .
. . . . (1)
Û (x – h)2 =
4c(y – k) . . . . .
. (2)
Persamaan (1) di atas adalah
persamaan parabola yang berpuncak di (h, k), dengan titik fokus (h + c, k) dan direktrik
x = h – c. Sedangkan fokus parabola dengan persamaan (2) adalah (h, c + k) dan direktrik
y = k – c.
Penjabaran lebih lanjut dari persamaan parabola (1)
menghasilkan
Û (y – k)2 = 4c(x – h)
Û y2 – 2ky + k2 = 4cx – 4ch
Û y2 – 4cx – 2ky + k2 + 4ch = 0
Secara umum persamaan (1) dapat
direduksi dalam bentuk
Cy2 + Dx + Ey + F = 0 . . . . . . (3)
Dengan C dan D tidak sama
dengan nol yang menyatakan persamaan parabola dengan sumbu simetrinya sejajar
dengan sumbu-x.
Secara sama persamaan (2) dapat direduksi dalam bentuk
Ax2 + Dx + Ey + F = 0 . . . . . . (4)
Dengan A dan E tidak sama
dengan nol yang menyatakan persamaan parabola dengan sumbu simetrinya sejajar
dengan sumbu-y. Persamaan (3) dan (4) di atas dikenal sebagai bentuk umum persamaan parabola.
Contoh 1:
Tentukan persamaan parabola yang
mempunyai fokus di titik (7, 2) dan dengan direktrik garis x = 1. Buat
sketsa grafiknya.
Jawab:
Puncak parabola berada di tengah
antara fokus dan direktrik. Dengan mudah dapat diperoleh bahwa titik puncak
parabola berada pada titik (4, 2). Jadi h = 4 dan k = 2.
Karena direktrik parabola adalah
garis x = 1, maka parabola yang dicari bersesuaian dengan persamaan
(1) dan berlaku
h – c = 1
c = h – 1 = 4 – 1 = 3.
Jadi persamaan parabola bentuk
baku yang dicari adalah
(y – 2)2
= 4×3 (x – 4) Û (y – 2)2
= 12(x – 4)
Parabola diatas dapat direduksi
menjadi dalam bentuk umum
y2 – 12x – 4y + 52 = 0.
Sketsa grafik dapat dilihat pada gambar 2.7 berikut.
Contoh 2:
Sebuah parabola
mempunyai persamaan 3x2 + 6x + 12y = 5. Nyatakan ke dalam bentuk baku, kemudian tentukan puncak,
titik fokus dan direktrik dari parabola tersebut.
Jawab:
Kita ubah bentuk persamaan di atas ke dalam bentuk baku
seperti pada persamaan (2)
Û 3x2 + 6x + 8y = 5
Û 3x2 + 6x = – 8y + 5
Û 3(x2 + 2x) = – 8y + 5
Û 3(x2 + 2x + 1 – 1) = – 8y + 5
Û 3(x + 1)2
– 3 = – 8y + 5
Û 3(x + 1)2 = – 8y + 8
Û 3(x + 1)2 = – 8(y – 1)
Û (x + 1)2 = – 
(y – 1)
(y – 1)
Dengan membandingkan persamaan ini
dengan persamaan (2) maka diperoleh informasi
h = –1, k = 1
dan
4c = – Û c = –
Û c = –
Jadi dapatlah disimpulkan bahwa
parabola yang terjadi berpuncak di (–1, 1), titik fokusnya adalah (–1, 1 + (–
)) = (–1, 
); dan garis direktriknya
)) = (–1, ); dan garis direktriknya
y = 1 – (–) Û y = 
) Û y = 
Sketsa grafik dapat dilihat di gambar 2.8.
Latihan 2.
Pada soal 1 – 6 tentukan persamaan parabola jika diberikan
data-data sebagai berikut: Buat sketsa grafiknya.
1.
Puncak di titik (2, 3);
fokus di titik (5, 3).
2.
Puncak (2, 5); fokus
(2, 1).
3.
Fokus (6, 1); direktrik
sumbu-y.
4.
Puncak (3, 1);
direktrik y = 3
5.
Puncak (–4, –3);
direktrik x = 6.
6.
Puncak (4, –2); latus
rektum sama dengan 8; sumbu parabola y + 2 = 0.
7.
Ujung-ujung latus
rektum (–2, –7) dan (6, –7), parabola menghadap ke atas.
8.
Ujung-ujung latus
rektum (3, 1) dan (3, 5), parabola menghadap ke kanan.
9.
Absis salah satu ujung
latus rektum adalah 5, puncak parabola di (1, –1), sumbu parabola sejajar
dengan sumbu-y.
Fokus (4, 5), garis x
= 4 menjadi sumbu simetri, dan
melalui titik (2, 3).
Seperti
halnya pada lingkaran dan ellips, terdapat dua macam garis singgung yang akan
dibicarakan, yaitu garis singgung yang melalui salah satu titik pada parabola
dan garis singgung yang mempunyai kemiringan tertentu.
1. Persamaan
Garis Singgung yang mempunyai kemiringan m.
2. Pada
parabola yang membuka ke kiri/kanan
Sekarang dibahas garis singgung
suatu parabola yang mempunyai kemiringan tertentu.
 |
Misalkan kita akan mencari persamaan garis singgung parabola y2 = 4cx yang mempunyai kemiringan m (lihat gambar 2.9).
Gambar 2.9.
Karena kemiringan garis singgung l sudah diketahui maka dimisalkan
mempunyai persamaan garis yaitu keluarga garis dengan kemiringan m;
l º y = mx + b,
dengan b
konstanta yang belum diketahui.
Jika persamaan garis itu disubstitusikan ke persamaan
parabola akan diperoleh hubungan
(mx
+ b)2 = 4cx
Û m2x2
+ (2mb – 4c)x + b2 = 0 . . . . . .
. (1)
Oleh karena garis menyinggung parabola maka haruslah memotong pada satu
titik saja, dengan kata lain persamaan kuadrat di atas haruslah mempunyai
penyelesaian yang kembar. Hal itu berarti nilai diskriminannya haruslah nol.
Kondisi ini diberikan oleh
persamaan :
(2mb
– 4c)2 – 4m2b2 = 0
Persamaan di atas akan memberikan selesaian
untuk b
b = 
, m ¹ 0
, m ¹ 0
Jadi persamaan garis singgung parabola y2
= 4cx yang mempunyai kemiringan m adalah
l º y
= mx + . . . . . . . . (2)
. . . . . . . . (2)
Persamaan garis singgung parabola (y – k)2 = 4c(x
– k) yang berpuncak di titik (h, k) dan sumbu parabola
sejajar dengan sumbu-x, jika garis mempunyai kemiringan m, dapat
diperoleh dengan mentranslasikan persamaan (2) sedemikian hingga titik asal
berpindah ke titik (h, k). Dengan translasi ini diperoleh
persamaan garis:
y – k = m(x – h) + . . . . . . . (3)
. . . . . . . (3)
Contoh 1:
Tentukan persamaan garis singgung
parabola y2 + 6y – 8x + 25 = 0 yang tegak lurus
garis 2x + y – 3 = 0.
Jawab:
Kita tulis kembali persamaan parabola
y2 + 6y = – 8x
+ 25
Dengan melengkapkan kuadrat persamaan parabola pada suku
yang memuat y pada ruas kiri diperoleh bentuk :
Û (y + 3)2
= 8x – 16
Û (y + 3)2
= 4×2(x – 2)
Persamaan
terakhir adalah bentuk baku dari persamaan parabola dengan puncak (2, –3) dan c
= 2, yaitu h = 2, dan k = –3.
Misalkan m adalah kemiringan garis singgung yang
dicari. Garis 2x + y – 3 = 0 mempunyai kemiringan
–2, sedangkan garis singgung yang diminta tegak
lurus dengan di atas, yang berarti perkalian antar kemiringan garis sama dengan
–1. Jadi
m.(–2) = –1 Û m = ½.
Dengan persamaan (3) di atas maka persamaan garis singgung
yang dicari adalah :
Û y + 3 = ½(x –
2) + 
Û x
– 2y = 0
Jadi persamaan garis singgung yang dicari adalah
Û x – 2y = 0
3. Pada
parabola yang membuka ke atas/bawah
Perhatikan
bahwa persamaan garis singgung seperti tertuang baik dalam persamaan (2) maupun
(3) di atas hanya berlaku pada parabola yang sumbu simetrinya berimpit atau
sejajar sumbu-x. Jika sumbu simetrinya sejajar dengan sumbu-y,
atau membuka ke atas/bawah maka rumus tersebut tidak berlaku.
Persamaan
baku parabola yang berpuncak di titik asal dan sumbu simetrinya berimpit dengan
sumbu-y adalah x2 = 4cy. Misalkan persamaan
garis singgung parabola itu mempunyai kemiringan m, dan kita misalkan
berbentuk
l º y = mx + b
dengan b konstanta yang belum diketahui.
Jika y disubstitusikan
pada parabola diperoleh
x2 = 4c(mx + b)
x2 – 4cmx – 4cb = 0 . .
. . . . . . (4)
Dengan penjelasan yang sama dalam menurunkan rumus (3) maka l menyinggung parabola maka
diskriminan persamaan kuadrat (4) haruslah nol. Hal itu diberikan oleh
persamaan :
(4cm)2 – 4×(–4cb) = 0
yang memberikan penyelesaian
untuk b yaitu :
b = –cm2
Jadi
persamaan garis singgung yang dicari adalah
y = mx – cm2 . . . . . .
. (5)
Demikian pula untuk memperoleh persamaan
garis singgung parabola yang lebih umum (x – h)2 = 4c(y
– k) yang berpuncak di titik (h, k) dan sumbu parabola
sejajar dengan sumbu-y, jika garis mempunyai kemiringan m, dapat
diperoleh dengan mentranslasikan persamaan (5) sedemikian hingga titik asal
berpindah ke titik (h, k). Dengan translasi ini diperoleh
persamaan garis:
y – k = m(x – h) – cm2 . . . . . . (6)
1.
Pada parabola yang membuka ke kiri/kanan
Untuk menentukan persamaan garis
singgung parabola di titik (x1, y1) yang
terletak pada parabola, pertama kita pandang parabola dalam bentuk y2
= 4cx dan rumus persamaan garis singgung yang ada rumus (2) pada seksi
6.5.1.
Menurut (2), persamaan garis singgung
parabola y2 = 4cx dengan
kemiringan
m adalah y = mx + 
. Jika titik (x1,
y1) merupakan titik singgung garis pada parabola, maka akan
berlaku
. Jika titik (x1,
y1) merupakan titik singgung garis pada parabola, maka akan
berlaku
y1 =
mx1 +
. . . . . . . (1)
. . . . . . . (1)
Sekarang nilai m akan kita cari dalam bentuk x1,
y1 dan c yang mana parameter itu sudah
diketahui/diberikan.
Kalikan masing-masing ruas pada persamaan (1) dengan m
diperoleh bentuk persamaan kuadrat
x1m2 – y1m
+ c = 0
yang
memberikan penyelesaian untuk m
m =
. . . . . . . . . . (2)
. . . . . . . . . . (2)
Karena
titik (x1, y1)
juga terletak pada parabola maka juga berlaku hubungan
y12 =
4cx1 . . . . . . .
. (3)
sehingga jika disubstitusikan ke persamaan (2) diperoleh
m =
. . . . . . . . (4)
. . . . . . . . (4)
Jika nilai m disubstitusikan ke persamaan garis
singgung diperoleh
y = mx + .
.
y = x + 
x +
y1y = 
x + 2x1c
x + 2x1c
Substitusi
nilai y12 = 4cx1 ke persamaan di atas
diperoleh
y1y = 2c(x
+ x1)
Jadi jika P(x1,
y1) titik pada parabola y2 = 4cx, maka persamaan garis singgung
parabola di titik P diberikan oleh persamaan
y1y = 4c×½(x + x1) . . . . . . . . (5)
Misalkan P(x1 , y1)
titik pada parabola (y – k)2
= 4c(x – h), maka persamaan garis singgung parabola di
titik P dapat dicari dari persamaan (5) dengan mentranslasikan
sumbu-sumbu koordinat sedemikian hingga titik asal (0, 0) menjadi titik dengan
koordinat (h, k), yaitu dengan substitusi
(y1
– k)(y – k) = 4c(½(x
+ x1) – h) . . . . . . . . (6)
Jika parabola dalam bentuk umum Cy2 + Dx
+ Ey + F = 0, maka persamaan garis singgung parabola yang
menyinggung di titik P(x1, y1) dapat
dituliskan dalam bentuk:
Cy1y + ½D(x + x1) + ½E(y
+ y1) + F = 0
. . . . . . . (7)
Contoh 1:
Tentukan
persamaan garis singgung parabola y2 = 8x di titik yang mempunyai ordinat 4.
Jawab:
Kita
nyatakan parabola dalam bentuk baku
Û y2
= 8x
Û y2 = 4×2x
Dari persamaan di
atas terlihat bahwa c = 2 dan puncak
parabola di titik (0, 0)
Untuk menentukan koordinat titik yang terletak pada parabola
dengan ordinat 4, kita masukkan y = 4 pada parabola maka diperoleh absis
Û 42
= 8x
Û x = 2
Jadi titik singgung
yang dimaksud adalah (2, 4). Dengan mempergunakan persamaan (5) kita peroleh
Û 4y = 2×2(x + 2)
Û 4y = 4x + 8
Û x – y + 2 = 0
Grafik persamaan parabola dan garis
singgungnya dapat dilihat di gambar 6.10 berikut
Gambar 2.10 :
1.
Pada parabola yang membuka ke atas/bawah
Selanjutnya kita perhatikan parabola dalam bentuk x2
= 4cy dan rumus persamaan garis singgung yang ada rumus (5) pada seksi
6.5.1.
Andaikan
titik P(x1, y1) pada parabola x2
= 4cy, maka berlaku
x12 = 4cy1 . . . . . . . . (1)
dan dengan mengingat persamaan garis singgung parabola yang mempunyai
kemiringan m adalah y = mx
– cm2 dan titik P(x1, y1)
pada garis singgung, maka berlaku
Û y1 = mx1 – cm2
Û cm2
– x1m + y1 = 0 . . . . . . . . (2)
Diperoleh penyelesaian m dalam x1, y1,
dan c yaitu
m = 
Dengan mengingat (1) maka
m = 
. . .
. . . . . . . (3)
. . .
. . . . . . . (3)
Jika nilai m ini disubstitusikan ke persamaan
garis singgung diperoleh
Û y = x – c
x – c
Û 4cy
= 2x1x – x12
Dengan mengingat rumus (1) diperoleh
Û 4cy = 2x1x – 4cy1
Û x1x = 4c
. .
. . . . . . . . (4)
. .
. . . . . . . . (4)
Jika parabola dalam bentuk umum Ax2 + Dx
+ Ey + F = 0, maka persamaan garis singgung parabola yang
menyinggung di titik P(x1, y1) dapat
dituliskan dalam bentuk:
Ax1x + ½D(x + x1) + ½E(y
+ y1) + F = 0
. . . . . . . . . (5)
Contoh 1:
Tentukan persamaan garis singgung parabola y
= x2 – 6x + 5 di titik (2, –3).
Jawab:
Persamaan parabola di atas jika dinyatakan dalam
bentuk umum akan berbentuk
x2 – 6x – y + 5 = 0
Dengan demikian diketahui bahwa A = 1, D
= –6, E = –1, dan F = 5. Diketahui pula x1 = 2,
y1 = –3. Jadi menurut persamaan (5) persamaan garis yang
dicari adalah
Û 2x
– ½×6(x + 2) – ½ (y – 3) + 5 = 0
Û 2x + y – 1 = 0
Latihan 3.
Pada
soal 1 – 6 tentukan persamaan garis singgung pada parabola di titik A(x1,
y1) yang diberikan dan yang mempunyai kemiringan m
yang diberikan.
1. y2 = 6x, m = 2, A(2, 2/3)
2. x2 + 4y = 0, m = ½ , A(2, –1)
3. x + 2y2 = 1, m = 3/4, A(1, –1)
4. 8x2 – 3y = 0, m
= –2, A(1/2, 4/3)
5. 2x2 + 3y – 6 = 0, m = –3/4, A(1, 4/3)
6. y2 + 2y + 6x + 4 = 0,
m = 1, A(–2, 4)
7. Tentukan persamaan parabola yang menyinggung garis x
= 2 di titik (2, 0) dan titik fokusnya (4, 0).
8. Puncak parabola menyinggung garis y = 2. Tentukan
persamaan parabola tersebut jika titik fokusnya (5, 2).
9. Tentukan persamaan garis singgung
parabola y2 = –16x yang sejajar garis x – y
= 3.
10. Tentukan persamaan garis singgung parabola y2
+ 2y + 6x + 4 = 0 yang tegak lurus garis x + 2y =
6.
BAB III
PENUTUP
A.
Kesimpulan
Antara
parabola y=ax2+bx+c dan garis y=mx+n bisa dilukiskan hubungan
keduanya dengan cara mensubstitusikan persamaan garis ke persamaan parabola
guna mendapatkan persamaan kuadrat dengan bentuk ax2+(b-n)x+(c-n)=0.
Diskriminan persamaan tersebut adalah D=(b-n)2-4a(c-n) dan diperoleh
hubungan sebagai berikut:
·
Jika D>0 maka garis akan memotong
parabola di dua titik berbeda
·
Jika D=0 maka garis akan menyinggung
parabola
·
Jika D<0 maka garis tidak akan
memotong parabola
B. Saran
1. Dengan tersusunnya makalah ini
marilah kita mencoba sedikit-demi sedikit meningkatkan kereatifitas dalam
membahas tentang parabola.
2. Makalah tentang parabola ini hendaknya
dapat menjadi sumber belajar untuk mengadakan pengkajian aliran ini di masa mendatang.
3. Makalah ini masih terbatas pada pembahasan tentang persamaan
persamaan parabola bentuk baku, konstruksi gometrik dari parabola, aplikasi
dari parabola, persamaan parabola bentuk umum, persamaan garis singgung pada
parabola pada pengkajian
selajutnya diharapkan lebih mendalam dan lebih luas. Kami sangat mengharapkan bimbingan
yang terus-menerus dari bapak dosen pengampu mata kuliah ini agar kami dari waktu-kewaktu menjadi
orang yang lebih baik.
DAFTAR PUSTAKA
Sri Kurnianingsih. (2006). matematika SMA dan MA ESIS kelas X semester genapjilid 1B, Esis-Erlangga: Bandung. (halaman 60-104).
Bayani,
Aprijalul.2010. Smart Matematika Solusi
Memahami Rumus Matematika Untuk SLTA, Mahasiswa dan Umum. Aik Mel: Forum
Insan Matematika Gaul Bermoral.
Simangunson, Wilson. 2005. Matematika Dasar. Jakarta: Erlangga
0 comments:
Post a Comment